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辗转相除法，也称为欧几里得算法（Euclidean Algorithm），是一种用于计算两个整数的最大公约数（Greatest Common Divisor, GCD）的有效方法。

最大公约数的定义

首先，我需要明确什么是最大公约数。对于两个整数a和b（假设a > b），它们的最大公约数是能够同时整除a和b的最大的正整数。例如，12和18的最大公约数是6，因为6是能够整除12和18的最大的数。

辗转相除法的基本步骤

根据我所了解，辗转相除法的基本步骤如下：

1. 用较大的数除以较小的数，得到余数。
2. 然后用较小的数除以这个余数，再得到一个新的余数。
3. 重复这个过程，直到余数为0。此时，除数就是这两个数的最大公约数。

让我用一个具体的例子来试试这个方法。

示例：计算 48 和 18 的最大公约数

1. 第一步：48 ÷ 18
   • 48 ÷ 18 = 2 余 12（因为 18 × 2 = 36，48 - 36 = 12）
   • 现在，用除数18除以余数12。
2. 第二步：18 ÷ 12
   • 18 ÷ 12 = 1 余 6（因为 12 × 1 = 12，18 - 12 = 6）
   • 现在，用除数12除以余数6。
3. 第三步：12 ÷ 6
   • 12 ÷ 6 = 2 余 0（因为 6 × 2 = 12，12 - 12 = 0）
   • 余数为0，过程结束。

最后的除数就是6，因此48和18的最大公约数是6。这与我的预期一致，因为6确实是能同时整除48和18的最大的数。

数学原理

辗转相除法的有效性基于以下两个数学原理：

1. 除法算式的基本性质： 对于任何两个正整数a和b（a > b），可以表示为： a = b × q + r，其中q是商，r是余数，且0 ≤ r < b。

2. GCD的性质： GCD(a, b) = GCD(b, r)。也就是说，a和b的最大公约数等于b和r的最大公约数。

   为什么这个性质成立？

   • 设d = GCD(a, b)，即d能整除a和b。
   • 因为a = b × q + r，所以r = a - b × q。
   • 既然d能整除a和b，那么d也能整除r（因为它是a和b的线性组合）。
   • 因此，d也是b和r的一个公约数。
   • 现在，假设存在一个更大的公约数d' > d，能整除b和r。
   • 但是a = b × q + r，所以d'也能整除a，这意味着d'也是a和b的公约数，且大于d，这与d是最大公约数矛盾。
   • 因此，GCD(a, b) = GCD(b, r)。

通过这个性质，我们可以将原问题逐步简化，直到余数为0。此时，GCD(b, 0) = b，因为任何数和0的最大公约数就是那个数本身。